Я пока только учусь, но для себя начал просто писать в файл основные данные — дату, запрос и ответ, а ещё ошибки. Пока хватает, чтобы понять, что и где сломалось. Конечно, если проект вырастет, надо будет что-то посерьёзнее, но для первых шагов с API этого достаточно. Главное — не логировать всё подряд, а только нужные штуки, иначе быстро запутаешься в логах.